一、二次函数的性质和定义
1、二次函数
一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。其中，$x$是自变量，$a$，$b$，$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意：① 二次函数中自变量的最高次数必须是2，也就是说在$y=ax^2+bx+c$中，$a≠0$，而$b$，$c$可以为0。② 含自变量的代数式是整式，而不是分式或根式。
2、二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）
（1）当$a>0$时
图象开口向上；对称轴为$x=-frac{b}{2a}$；顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},frac{4ac-b^2}{4a} ight)$；当$x<-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x>-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-frac{b}{2a}$时，$y$有最小值，此时$y_{最小值}=frac{4ac-b^2}{4a}$。
（2）当$a<0$时
图象开口向下；对称轴为$x=-frac{b}{2a}$；顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},frac{4ac-b^2}{4a} ight)$；当$x<-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-frac{b}{2a}$时，$y$有最大值，此时$y_{最大值}=frac{4ac-b^2}{4a}$。
因为抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$，当对称轴在$y$轴左侧时，$-frac{b}{2a}<0$，即$frac{b}{2a}>0$，所以$a$与$b$同号；反之，$a$与$b$异号，故可记为“左边同号，右边异号（$a$与$b$）”。
3、二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与性质
二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$
（1）开口
当$a>0$时，开口向上，并向上无限延伸。
当$a<0$时，开口向下，并向下无限延伸。
$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大。
（2）对称轴及顶点坐标
关于直线$x=h$对称；顶点坐标为$(h,k)$。
（3）增减性
当$a>0$时，$x<h$时，即在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而减小；$x>h$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
当$a<0$时，$x<h$时，即在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大；$x>h$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小。
（4）最值
$a>0$时，二次函数有最小值，即当$x=h$时，$y_{最小值}=k$，此时最低点为顶点$(h,k)$；
$a<0$时，二次函数有最大值，即当$x=h$时，$y_{最大值}=k$， 此时最高点为顶点$(h,k)$。
二、二次函数的性质的相关例题
若抛物线$y=x^2-2x+c$与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$，则下列说法不正确的是___
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴是直线$x=1$
C．当$x=1$时，$y$的最大值为$-4$
D．抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$
答案：C
解析：抛物线$y=x^2-2x+c$与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$，∴$c=-3$。即$y=x^2-2x-3=$$(x-1)^2-$$4=$$(x-3)$$(x+1)$。∴其开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x=1$时，$y$的最小值为$-4$，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。故选C。
