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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
1
设
则
()A.
B.
C.
D.
2已知集合
,则
()A.
B.
C.
D.
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是()
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4记
为等差数列
的前
项和,若
,则
()A.-12B.-10C.10D.12
5设函数
,若
为奇函数,则曲线
在点
处的切线方程为()A.
B.
C.
D.
6 在
中,
为
边上的中线,
为的中点,则
()A.
B.
C.
D.
7某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()
A.
B.
C.
D.
8 设抛物线
的焦点为
,过点
且斜率为
的直线与
交于两点,则
()A.5B.6C.7D.8
9 已知函数
,
,在
存在
个零点,则的取值范围是()A.
B.
C.
D.
10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形
的斜边
,直角边
.
的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为
,则()
A.
B.
C.
D.
11已知双曲线
,
为坐标原点,
为
的右焦点,过
的直线与
的两条渐近线的交点分别为
若
为直角三角形,则
()A.
B.
C.
D.
12已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面
所成的角都相等,则
截此正方体所得截面面积的最大值为()A.
B.
C.
D.
二、填空题
13若
满足约束条件
则
的最大值为。14记
为数列
的前n项的和,若
,则
。15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有__________种.(用数字填写答案)
16已知函数
,则
的最小值是。三、解答题
17
在平面四边形
中,
1.求
;2.若
求
18如图,四边形
为正方形,
分别为
的中点,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且
.
1. 证明:平面
平面
;2.求
与平面
所成角的正弦值19 设椭圆
的右焦点为
,过
得直线
与
交于
两点,点
的坐标为
.1.当
与轴垂直时,求直线
的方程; 2.设
为坐标原点,证明:
20某工厂的某种产品成箱包装,每箱产品在交付用户前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品(
),且各件产品是否为不合格品相互独立 1.记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
,求
的最大值点
2.现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为
的值。已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为
,求
;②检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21已知函数
1.讨论
的单调性;2.若
存在两个极值点
,证明:
22[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系
中,曲线
的方程为
,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
1.求
的直角坐标方程 2. 若
与
有且仅有三个公共点,求
的方程 23[选修4—5:不等式选讲]
已知
1.当
时,求不等式
的解集 2.若
时,不等式
成立,求的取值范围
参考答案
一、选择题
答案： C
解析：
,
,故选C答案： B
解析： 由题得
=
或
，故
，故选B3.答案：A
解析：设建设前总经济收入为
则建设后总经济收入为
对于
,建设前种植收入为
,建设后种植收入为
故
借误:对于
,建设前其他收入为
,建设后其他收入为
,故
正确对于
,建设前养殖收入为
,建设后养殖收入为
,故
正确:对于
,建设后,养殖收入占
,第三产业收入占
,
故
正确:答案： B
解析： 由
为等差数列，且
，故有
，即
又由
，故可得
，故
，故选B答案： D
解析： 因为
是奇函数，所以
，即
解得
，所以
，故切线方程为：
，故选D答案： A
解析： 由
是
边上的中线，
为
的中点，故
，故选A答案： B
解析：
如图，最小路径
，故选B答案： D
解析： 由直线过点
且斜率为
故可得直线
为
,联立直线
与抛物线
，解得
或
，故可设
,则
.又由抛物线焦点
，故
,
,所以
,故选D答案： C
解析：
有两个零点等价于
与
有两个交点,由图可知,当
,即
时,
与
有两个交点,故选C
答案： A
解析： 假设
,由三角形
是直角三角形,故有
,即
,即有
,故区域Ⅰ的面积为
,区域Ⅱ的面积为
,区域Ⅲ的面积为
又由于总区域固定,故
·即选A答案： B
解析：
在
中，
在
中，
答案： A
解析： 如图所示平面
与平面的所有棱缩成角都相等
故
平面
，构造平面
平面
设
,
则
,
故
=
当
时
二、填空题
答案：
解析： 作出约束区域如图所示,
目标函数化为
当
直线经过
时有最大截距,且此时
取得最大值。故当
时
取得最大值
答案：
解析： 由题意,当
时,
,解得
当
时
化简得
故
是以
为首项,
为公比的等比数列,因此
15.答案：16
解析：在
人中任选
人的选法总共有
种;选出的
人劝慰男生的选法共有
种故至少有一位女生入选的选法共有
种答案：
解析： 显然
,故
是以为
周期的函数又
故当
,即
时,
单调递增当
,即
时,
单调递减所以
时,
取得最小值不妨令
,取
代入
得
三、解答题
答案： 1.在
中,由正弦定理可知:
∴
∴
由
得
∵
∴
2.∵
,
又由余弦定理知:
解得:
∴
答案： 1.证明:∵
分别为
的中点,四边形
为正方形∴
∴
∵
,∴
而:
∴
平面
,而
平面
,∴平面
平面
2.记正方形
边长为
则:
,且由翻折的性质可知:
∴
过
作
于
连接
,由1知:平面
平面
,平面
平面
,∴
平面
,∴
即为
与平面
所成的角.记
,则
,∴
,在
中,由勾股定理得:
,即
,解得
∴
∴
即
与平面
所成的角的正弦值为
答案： 1.依题意,右焦点
,当
与轴垂直时,则点
的坐标为
,所以当
时,直线方程为
所以当
时,直线
方程为
2.①当直线
与轴垂直时,
两点分别为
和
根据对称性可知,
所以
②当直线
不与垂直时,设直线的方程为
联立方程组
设
,则
则
答案： 1.
令
,
当
时,
单调递增当
时,
,
单调递减所以,当
时,
有最大
2.①有题意可知
设剩余
件产品恰有
件是不合格品,则
②若对余下产品进行检查时,则质检费用与赔偿费用之和为
元,因为
,所以需要检验答案： 1.
当
时,
,此时
在
上单调递减;当
时,令
,判别式
当
时,此时
,
,从而
在
上单调递减当
时,此时
,设
的两根为
,且
,利用求根公式得
当
时,
,从而
,
在
和
单调递减当
时,
,从而
,此时
在
上单调递增综上所述,当
时,
在
上单调递减当
时,
在
和
上单调递减,在
上单调递增
2.由
可知,若
有两个极值点,则
,且
的两根即为
且满足韦达定理
,易得
,
因
,可得
,即
若要证
,只须证
,即证
整理得
构造函数
,求导得
因此
在
上单调递减
从而
成立,原式得证答案： 1.
则
,即
所以
的直角坐标方程为
2.由题
可知圆心坐标为
,半径
又曲线方程
,关于
轴对称,且曲线过圆外定点
∴当曲线与圆有且仅有
个交点时,设曲线在
轴的右半部分与圆相切于点
,此时,
则
,
,即直线
的方程为
答案： 1.当
时,则
∴当
时,
即
又当
时,
满足
综上:
2.当
时,
恒成立即
时有:
即
,两边平方化简可得:
又
,则
成立函数
可看作斜率为
的直线,且在
处取最大值则
即的取值范围是
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